الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{x^{2}}{48}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{48}$

خطوة 2

اضرب كلا المتعادلين في $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

خطوة 3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

خطوة 3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $64 (1 - \frac{x^{2}}{48})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $64$ في $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{48})$

خطوة 3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{48}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{48}$

خطوة 3.2.1.3.2

أخرِج العامل $16$ من $64$ .

$y^{2} = 64 + 16 (4) \frac{- x^{2}}{48}$

خطوة 3.2.1.3.3

أخرِج العامل $16$ من $48$ .

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

خطوة 3.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 64 + 16 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{16 \cdot 3}$

خطوة 3.2.1.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 64 + 4 \frac{- x^{2}}{3}$

خطوة 3.2.1.4

اجمع $4$ و $\frac{- x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{4 (- x^{2})}{3}$

خطوة 3.2.1.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 4 x^{2}}{3}$

خطوة 3.2.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = 64 - \frac{4 x^{2}}{3}$

خطوة 4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{64 - \frac{4 x^{2}}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لكتابة $64$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

خطوة 5.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $64$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{4 x^{2}}{3}}$

خطوة 5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{64 \cdot 3 - 4 x^{2}}{3}}$

خطوة 5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $4$ من $64 \cdot 3 - 4 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $64 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) - 4 x^{2}}{3}}$

خطوة 5.3.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})}{3}}$

خطوة 5.3.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (16 \cdot 3) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (16 \cdot 3 - x^{2})}{3}}$

خطوة 5.3.2

اضرب $16$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{4 (48 - x^{2})}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{4 (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2^{2} (48 - x^{2})}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.6

اضرب $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اضرب $\frac{2 \sqrt{48 - x^{2}}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.7.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 5.7.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 5.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 5.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{48 - x^{2}} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.8

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

خطوة 6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

خطوة 6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

خطوة 6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{3 (48 - x^{2})}}{3}$

خطوة 7

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{3 (48 - x^{2})}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$3 (48 - x^{2}) \geq 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اقسِم كل حد في $3 (48 - x^{2}) \geq 0$ على $3$ .

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

خطوة 8.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (48 - x^{2})}{3} \geq \frac{0}{3}$

خطوة 8.1.2.1.2

اقسِم $48 - x^{2}$ على $1$ .

$48 - x^{2} \geq \frac{0}{3}$

خطوة 8.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$48 - x^{2} \geq 0$

خطوة 8.2

اطرح $48$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} \geq - 48$

خطوة 8.3

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 48$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 48$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 48}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 48}{- 1}$

خطوة 8.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اقسِم $- 48$ على $- 1$ .

$x^{2} \leq 48$

خطوة 8.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{48}$

خطوة 8.5

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{48}$

خطوة 8.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1

بسّط $\sqrt{48}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1.1

أعِد كتابة $48$ بالصيغة $4^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1.1.1

أخرِج العامل $16$ من $48$ .

$| x | \leq \sqrt{16 (3)}$

خطوة 8.5.2.1.1.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

خطوة 8.5.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq | 4 | \sqrt{3}$

خطوة 8.5.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$| x | \leq 4 \sqrt{3}$

خطوة 8.6

اكتب $| x | \leq 4 \sqrt{3}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 8.6.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq 4 \sqrt{3}$

خطوة 8.6.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 8.6.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq 4 \sqrt{3}$

خطوة 8.6.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq 4 \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \leq 4 \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 8.7

أوجِد التقاطع بين $x \leq 4 \sqrt{3}$ و $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

خطوة 8.8

أوجِد حل $- x \leq 4 \sqrt{3}$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 4 \sqrt{3}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 4 \sqrt{3}$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

خطوة 8.8.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

خطوة 8.8.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$

خطوة 8.8.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{4 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (4 \sqrt{3})$

خطوة 8.8.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (4 \sqrt{3})$ بالصيغة $- (4 \sqrt{3})$ .

$x \geq - (4 \sqrt{3})$

خطوة 8.8.1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$x \geq - 4 \sqrt{3}$

خطوة 8.8.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq - 4 \sqrt{3}$ و $x < 0$ .

$- 4 \sqrt{3} \leq x < 0$

خطوة 8.9

أوجِد اتحاد الحلول.

$- 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}$

خطوة 9

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

خطوة 10

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- 8, 8]$

ترميز بناء المجموعات:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

خطوة 11

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}], {x | - 4 \sqrt{3} \leq x \leq 4 \sqrt{3}}$

المدى: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

خطوة 12